北尾早霧・砂川武貴・山田知明『定量的マクロ経済学と数値計算』日本評論社

第2章：2期間モデル・3期間モデルと数値計算の概観

本リポジトリは、北尾早霧・砂川武貴・山田知明『定量的マクロ経済学と数値計算』（日本評論社）の第2章に対応するサポートコードを収録しています。

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フォルダ構成

chapter2/
├── Julia/
│   ├── Jupyter/                        # Jupyter Notebook（初学者向け・推奨）
│   │   ├── quantmacro_chapter2_1.ipynb # 2.1–2.4節：モデルとグリッドサーチ
│   │   ├── quantmacro_chapter2_2.ipynb # 2.5節：最適化
│   │   ├── quantmacro_chapter2_3.ipynb # 2.6.1節：求根アルゴリズム
│   │   ├── quantmacro_chapter2_4.ipynb # 2.6.2節：射影法
│   │   ├── quantmacro_chapter2_5.ipynb # 2.7節：内生的格子法（EGM）
│   │   ├── quantmacro_chapter2_6.ipynb # 2.8節：3期間モデル
│   │   ├── quantmacro_chapter2_7.ipynb # 2.9節：リスクの導入
│   │   └── how_to_grid.ipynb           # 補足：グリッドの効率的な取り方
│   ├── html/                           # 上記 Notebook の HTML 版（閲覧のみ）
│   ├── 2_4_Discretization/             # 2.4節：グリッドサーチ（.jl）
│   ├── 2_5_Optimization/               # 2.5節：最適化（.jl）
│   ├── 2_6_1_Root_Finding/             # 2.6.1節：求根アルゴリズム（.jl）
│   ├── 2_6_2_Projection_Method/        # 2.6.2節：射影法（.jl）
│   ├── 2_7_EGM/                        # 2.7節：内生的格子法（.jl）
│   ├── 2_8_Three_Period_Model/         # 2.8節：3期間モデル（.jl）
│   └── 2_9_Risk/                       # 2.9節：リスクの導入（.jl）
├── MATLAB/
│   ├── 2_4_Discretization/
│   ├── 2_5_Optimization/
│   ├── 2_6_1_Root_Finding/
│   ├── 2_6_2_Projection_Method/
│   ├── 2_7_EGM/
│   ├── 2_8_Three_Period_Model/
│   └── 2_9_Risk/
├── Python/
│   ├── Jupyter/                        # Jupyter Notebook 版
│   ├── 2_4_Discretization/
│   ├── 2_5_Optimization/
│   └── 2_6_1_Root_Finding/
├── R/
│   └── 2_4_Discretization/             # グリッドサーチのみ
├── Fortran/
│   └── 2_4_Discretization/             # グリッドサーチのみ
└── 2期間モデルの解法.xlsx               # Excelによる補足説明

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各言語のコードについて

Julia

• Juliaを初めて使う人は、Julia/Jupyter内のJupyter Notebook(.ipynbという拡張子のファイル)を順番に読むことを強くお勧めします。
  • モデルを解くために必要になる知識をステップ・バイ・ステップで解説しているので、解説文・コメントを読みながらコードを実行してみてください。
  • Tipsとして、Juliaの仕様についても簡単に説明をしています。
  • Jupyter Notebookを開くのが大変な人に向けて、Julia/htmlにHTML版も用意してあります。ただし、こちらは内容を読むだけで実行は出来ません。
• ある程度Juliaの知識がある人は、Jupyter Notebookはやや冗長に感じるかもしれないので、各フォルダに格納されたXX.jlというJuliaコード(拡張子が.jlのファイル)を直接読むことをお勧めします。
  • 内容はJupyter Notebookとまったく同じです。

MATLAB

• 各節のコードを順番に置いてあります。

Python

• Juliaと同じく、Jupyter Notebookで丁寧に説明をしています。

Fortran & R

• 2.4節で解説をしたグリッドサーチ用コードのみです。

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Notebook の内容

quantmacro_chapter2_1.ipynb　―　2.1〜2.4節：グリッドサーチ

第2章の出発点となる Notebook です。Jupyter Notebook の使い方から始まり、2期間モデルの定式化とカリブレーション、そして最もシンプルな解法であるグリッドサーチ（状態変数・操作変数ともに離散化）を実装します。

Juliaのプログラミングに関する Tips も充実しており、以下のトピックを扱っています。

• Jupyter Notebook の基本操作（セルの実行、Markdown 記法、LaTeX 数式）
• ベンチマークモデル（2期間モデル）と予算制約・一階条件・政策関数の概説
• カリブレーション：CRRA 型効用関数と割引因子 $\beta$、利子率 $r$ の設定
• LinRange を使ったグリッドの生成と collect による型変換
• 変数の型（Float64 / Int64）と計算効率の関係
• 自作関数の作成（CRRA 型効用関数、Cobb-Douglas 型生産関数）と if 文
• 構造体（struct）を使ったパラメータ管理
• ブロードキャスト（. 演算子）とループ計算
• 2.4節：状態変数・操作変数をともに離散化したグリッドサーチの実装と政策関数の可視化

quantmacro_chapter2_2.ipynb　―　2.5節：最適化

操作変数（貯蓄額）を連続変数として扱い、各状態グリッド点で最適化問題を数値的に解きます。Julia の Optim パッケージを用いた実装です。

• 目的関数の定義と Optim パッケージによる最適化
• グリッドサーチとの計算時間・精度の比較

quantmacro_chapter2_3.ipynb　―　2.6.1節：求根アルゴリズム

一階条件（オイラー方程式）を残差関数として定式化し、ゼロ点を数値的に求める方法を実装します。

• 限界効用関数 $u'(c) = c^{-\gamma}$ の定義
• 残差関数（2.8式）の実装
• Roots パッケージによるゼロ点探索（求根アルゴリズム）
• 残差関数のプロット（テキスト図2.3の再現）

quantmacro_chapter2_4.ipynb　―　2.6.2節：射影法

政策関数を多項式で近似し（2.9式）、選点上で残差がゼロになるような係数 $\theta$ を非線形最小二乗法で推定します。

• 多項式近似による政策関数 $\hat{g}(w;\theta) = \sum_n \theta_n w^n$ の実装
• LsqFit パッケージを用いた Levenberg-Marquardt 法による係数推定
• 初期値の選択と収束条件の確認

quantmacro_chapter2_5.ipynb　―　2.7節：内生的格子法（EGM）

操作変数のグリッド上でオイラー方程式を直接解き、対応する状態変数を予算制約から逆算する EGM（Endogenous Gridpoint Method）を実装します。最適化や求根計算を一切行わない高速な手法です。

• オイラー方程式右辺の関数化
• CRRA 型効用関数の逆関数による消費量の解析的計算
• 予算制約からの状態変数の逆算

quantmacro_chapter2_6.ipynb　―　2.8節：3期間モデル

2期間モデルを3期間（若年期・中年期・老年期）に拡張します。後ろ向き帰納法（Backward Induction）により、中年期・老年期間の意思決定を先に解いてから、若年期・中年期間の意思決定に移ります。後者では線形補間（LinearInterpolation）を使って次期政策関数を近似します。

• 3期間モデルのカリブレーション（1期間 = 20年に調整）
• 中年期・老年期間の残差関数（2.11式）の実装
• 若年期・中年期間の残差関数（2.12式）の実装と線形補間の活用

quantmacro_chapter2_7.ipynb　―　2.9節：リスクの導入

3期間モデルに所得リスク（離散的な確率的ショック）を加えます。遷移確率行列を外生的に与え、期待値の計算にドット積（LinearAlgebra）を使います。確率的ショックの離散近似（Tauchen 法など）は第4章で扱います。

• 遷移確率行列の設定
• 期待値を含む残差関数の実装
• LinearAlgebra パッケージによるドット積計算

how_to_grid.ipynb　―　補足：グリッドの効率的な取り方（2.3.2節）

等間隔グリッドに代わる、非等間隔グリッドの生成方法を紹介します。低資産領域に格子点を密に配置することで、政策関数の精度を高める工夫です。

• 等間隔グリッド（LinRange）
• 指数的グリッド（Carroll 氏の MATLAB コードを参考）2通り
• Maliar et al. (2010) によるグリッド生成法

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注意

• 書籍のすべての結果について、JuliaとMATLAB、Pythonで再現することが可能です。
  • FortranとRはグリッドサーチのみ。
• MATLABではfminsearch、fminbnd、fzeroなどの関数を使っているため、インストールされているライブラリによっては動かない可能性があります。
• Pythonではnumpy、scipy、matplotlibを呼び出しています。
• Juliaではいくつかのパッケージを利用しています。
  • もし実行できない場合はREPLで]を押したのち、add package nameを実行してパッケージをインストールしてください。
  • 図をプロットする際に日本語が文字化けする可能性があります。数値計算そのものには無関係ですが、日本語で図を表示したい場合はフォントを追加インストールする必要があります。

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セットアップ

Julia と Jupyter Notebook のインストール・環境設定については、インストールと環境構築のガイド を参照してください。