$$
b \coloneqq (b_{m},b_{m-1}\cdots b_{1},b_{0},.,b_{-1},b_{-2}\cdots b_{1-n},b_{-n})_2
= \sum_{k=-n}^m 2^k \times b_k
$$
$$
V \coloneqq \left(s,\underbrace{e_{k-1}\cdots e_{1},e_{0}}_{e},\overbrace{f_{-1},f_{-2}\cdots f_{-n}}^{f}\right)_2
= (-1)^s \times 2^{E(e)} \times M(f)
$$
其中
-
$e$ 为 $k$ 位二进制整数，其值为 $\sum_{i=0}^{k-1}2^i\times e_i$
-
$f$ 为 $n$ 位二进制小数，其值为 $\sum_{i=1}^n 2^{-i}\times f_{-i}$
- 单精度 $k+n=8+23$
- 双精度 $k+n=11+52$
记 $b \coloneqq 2^{k-1} - 1$，则除特殊值外
- $E(e) \coloneqq (e \mathbin{?} e : 1) - b$
- $M(f) \coloneqq (e \mathbin{?} 1 : 0) + f$
根据 $e$ 的取值，可分为三种情形：
|
退化情形 |
常规情形 |
特殊值 |
| $(e_i)_{i=0}^{k-1}$ |
全为 $0$
|
既有 $0$ 又有 $1$
|
全为 $1$
|
| $e$ |
$0$ |
$\sum_{i=0}^{k-1}2^i e_i\in[1,2^k-2]$ |
$\sum_{i=0}^{k-1}2^i=2^k-1$ |
| $E$ |
$1-b$ |
$e-b$ |
|
| $M$ |
$0+f=\sum_{i=1}^n 2^{-i}f_{-i}$ |
$1+f=1+\sum_{i=1}^n 2^{-i}f_{-i}$ |
|
| $\vert V\vert$ |
$2^{1-b}\times(0+f)$ |
$2^{e-b}\times(1+f)$ |
$ f \mathbin{?} \text{NaN} : \infty$ |
| $\min$ |
$0$ |
$2^{1-b}$ |
|
| $\max$ |
$2^{1-b}(1-2^{-n})$ |
$2^b(2-2^{-n})$ |
|
